【R】-確率分布- 正規分布

はじめに
正規分布
正規分布からランダムに数字を生成する
正規分布の確率密度を計算する
正規分布の累積確率を計算する
まとめ

はじめに

こんにちは！ひらちんです！Ｒを使った統計について自分の勉強も兼ねて記事にしています。

今回は、確率分布の中の一番大事な正規分布です。

正規分布

統計の勉強を始めたら最初に出てくる一番大事な確率分布

μ:平均　σ：標準偏差　ｅ：ネイピア数

こんなやつ。

気が狂ったような数式で難しいっすね。

正規分布からランダムに数字を生成する

正規分布に従った数字をランダムに生成したい場合 rnorm関数を使います。

平均μと標準偏差σを指定出来ます。

rnorm(n, mean, sd)

# 平均μ 15 標準偏差σ 20 の正規分布 N(15, 20^2)に従う数字を10個生成
rnorm(n=10 , mean=15, sd=20)

みたいな感じ。

ランダムなんで、もう一回やると違う数字が抽出されるね。

ちなみに、引数のmean(平均)とsd(標準偏差)を指定しないと、標準正規分布 N(0, 1)に従う数字を抽出します。(nは指定しないと怒られるので、nだけは指定してあげてください。)

# 引数のn(抽出数)だけ指定して実行する
rnorm(n=10)

まぁ、ぱっと見でこれが標準正規分布に従っている数字だなんて分かんないから、おおーっ！ともならないね（笑）

ふふーん。。。ぐらい

正規分布の確率密度を計算する

正規分布における、その値の確率密度(出現確率)を計算するには、 dnorm関数を使います。

つまり、さっき出てきたこいつを計算するんですね。

例えば、標準正規分布のxが0のときの出現確率は

dnorm(0, mean=0, sd=1)

で「0.3989423」となります。

一応、みんな大好きExcel君でも確認しときます？

Excelでは、 PHI関数で標準正規分布の確率密度を計算することが出来ます。

おんなじくらいですね。

ということで、さっき rnorm関数でランダムに作ったたくさんの数字を、 dnorm関数の引数に入れてやればそれぞれ計算してくれると言うわけですね。

ちなみに、 dnorm関数も引数のmean(平均)とsd(標準偏差)を指定しないと、標準正規分布で計算してくれます。

では、 rnorm関数で標準正規分布に従う数値をいっぱい作って、それの確率密度を dnorm関数で計算して、せっかくなのでグラフにしてみます！

# rnorm関数で、標準正規分布に従った数字をたくさん作る（ここでは１００００個）
rnorm10000 <- rnorm(n=10000)

# 生成した数字達を dnorm関数に入れる
dnorm10000 <-  dnorm(rnorm10000)

# グラフ作成用に ggplot2 をロードする
require(ggplot2)

# グラフを描画
ggplot(data.frame(x = rnorm10000, y = dnorm10000)) +
        aes(x = x, y = y) +
        geom_point() + labs(x = "正規分布", y = "確率密度")

こんな感じですね。

ggplot2 は、グラフとか作るときに便利なやつです。

出来たグラフはこれです。

両端はぷつぷつしてますが、釣鐘型のきれいなグラフが描けました！

正規分布の累積確率を計算する

dnorm関数はxに対する確率密度を計算してくれましたが、そのxまでの累積確率を計算する pnorm関数も用意されています。

累積確率の定義は、次です。

正規分布の数式を積分してるだけですね。

つまり、これを計算してくれます。

では、標準正規分布のxが0のところまでの累積確率を計算してみましょう！

pnorm(0, mean=0, sd=1)

で「0.5」となります。

さっき描いたグラフのxが0以下の部分なんで、0.5ですね。

0は真ん中です。

では、せっかくなので累積確率もグラフにしてみましょう！

dnorm関数でやったときと基本的には同じです。

dnorm関数のところをpnorm関数に変えています。

# rnorm関数で、標準正規分布に従った数字をたくさん作る（ここでは１００００個）
rnorm10000 <- rnorm(n=10000)

# 生成した数字達を pnorm関数に入れる
pnorm10000 <-  pnorm(rnorm10000)

# グラフ作成用に ggplot2 をロードする
require(ggplot2)

# グラフを描画
ggplot(data.frame(x = rnorm10000, y = pnorm10000)) +
        aes(x = x, y = y) +
        geom_point() + labs(x = "正規分布", y = "累積確率密度")

出来たグラフはこれです。