【R】-確率分布- 二項分布

はじめに
ベルヌーイ試行
二項分布
まとめ

はじめに

こんにちは！ひらちんです！Ｒを使った統計について自分の勉強も兼ねて記事にしています。

今回は、コインの表と裏でお馴染みの二項分布です！

ベルヌーイ試行

二項分布の前に、ベルヌーイ試行についてです。

ベルヌーイ試行と言うのは「成功or失敗」「表or裏」「勝ちor負け」みたいに２種類のみの結果しか得られないような試行のことを言います。

１回コインを投げたとき、“表”が出るか“裏”が出るか、みたいなのが代表的なやつですね。

通常コインだと、表も裏も50%ずつの確率で出る感じですが、確率は50%ずつで無くてもOKです。

何回やっても1回1回が同じ確率だったら良いわけです。

成功確率のp、失敗確率(1−p)は試行を通じて一定である。

成功確率[表の確率]をpとすると、失敗確率[裏の確率]は(1-p)となりますね。

二項分布

で、二項分布というのは、　そのベルヌーイ試行をn回行ったときに、ある事象が何回起こるかの確率分布を言います。

例えば、コイン10回投げたときに、

表が0回出る確率、表が1回出る確率、表が2回出る確率、表が3回出る確率、、、、表が10回出る確率、みたいな確率の分布です。

コイン１０回投げた場合の表が出る回数のそれぞれの確率を計算すると、、、

成功回数は0回から10回まで、表が出る確率Pは0.5なので全部計算すると以下のような形になりますね。

成功回数 x	確率 f(x)	計算式
0	0.001	1 ✕ 0.5^0 ✕ (1-0.5)^10
1	0.010	10 ✕ 0.5^1 ✕ (1-0.5)^9
2	0.044	45 ✕ 0.5^2 ✕ (1-0.5)^8
3	0.117	120 ✕ 0.5^3 ✕ (1-0.5)^7
4	0.205	210 ✕ 0.5^4 ✕ (1-0.5)^6
5	0.246	252 ✕ 0.5^5 ✕ (1-0.5)^5
6	0.205	210 ✕ 0.5^6 ✕ (1-0.5)^4
7	0.117	120 ✕ 0.5^7 ✕ (1-0.5)^3
8	0.044	45 ✕ 0.5^8 ✕ (1-0.5)^2
9	0.010	10 ✕ 0.5^9 ✕ (1-0.5)^1
10	0.001	1 ✕ 0.5^10 ✕ (1-0.5)^0

表１

これのことです。

数学的に、確率質量関数を書くと、、、こんなやつ。

こんな風に書いてる場合もありますね。

こいつは、大学で数学やってないと馴染みないと思いますが、以下のようなことです。

2つ目に書いた式の

と同じことですね。つまり組み合わせの数ってことです。

数学詳しい人に言わせると厳密には違うようですが、、、まぁここでは同じってことで良いでしょう(^o^)

二項分布から乱数を生成する

さぁ、ここからがややこしいですよ。

ある二項分布から乱数を生成するって言うことは、単に乱数を生成するということでは無くて、

独立した試行を何回か繰り返した場合に、成功した回数生成するということ

になります。

何を言ってるかというと、、、

二項分布：ベルヌーイ試行をn回行ったときに、ある事象が何回起こるかの確率分布

でしたね。

「表１」で言うところの、成功回数 x のところがある二項分布に従った形でランダムに出ないといけないという分けです。

R では rbinom関数を使って生成します。

rbinom(n=1, size=10, prob=0.5)

のような感じです。

成功確率0.5(prob=0.5)のベルヌーイ試行を、10回繰り返し試行(size=10)するということを、1回(n=1)やる

って言う意味になります。

つまり、nに指定した回数の試行結果が返ってくることになります。

計算してくれるっていうのではなくて、代わりに試行してくれるっていう理解で良いと思います。

なので、このコードは実行する度に答えが違います。

やってみましょう！

先程のこのコードです。

rbinom(n=1, size=10, prob=0.5)

1回実行したら、結果は「7」でした。

もう一回やってみます。

2回目は、結果は「6」でした。

念のためもう1回ｗ

3回目は「3」でした。

このように、代わりに実験して見てくれるってことですね。

ちなみに、1回1回実行しなくても、「n=20」とかにすれば20回一気にやってくれます。

じゃんっ！

これで終わっても何なんで、とりあえずグラフにしてみましょう！

「成功確率0.2の試行を10回やった時の成功回数」というのを10000回

やってもらいます。

感覚的には、成功2回くらいの結果が多くなるはずですね。

コード的には

rbinom(n=10000, size=10, prob=0.2)

です。

で、こいつを data.frame にして、グラフ化するってイメージです。

# rbinomで生成した結果をデータフレームに打ち込む
df <- data.frame(d <- rbinom(n=10000, size=10, prob=0.2))

# グラフの作成
require(ggplot2)
ggplot(df, aes(x = d)) + geom_histogram(binwidth = 1)

何回か実行している動画をご覧下さい。