はじめに
こんにちは！ひらちんです！Ｒを使った統計について自分の勉強も兼ねて記事にしています。
今回は、分位点（分位数）についてです！
分位点（分位数）
分位点（分位数）とは、
ってやつです！
つまり中央値は50%分位点となりますね(^o^)
次のサンプルを使って説明したいと思います。
| 名前 | 身長 |
|---|---|
| Aさん | 171cm |
| Bさん | 177cm |
| Cさん | 169cm |
| Dさん | 165cm |
| Eさん | 172cm |
| Fさん | 174cm |
| Gさん | 188cm |
| Hさん | 190cm |
| Iさん | 175cm |
| Jさん | 169cm |
| Kさん | 183cm |
このデータを小さいもん順に並べると
| １ | ２ | ２ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ | ９ | １０ | １１ |
| D | C | J | A | E | F | I | B | K | G | H |
| 165 | 169 | 169 | 171 | 172 | 174 | 175 | 177 | 183 | 188 | 190 |
こんな順番になりますね。
50％の場所にあるのは６番目のFさんです。
| １ | ２ | ２ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ | ９ | １０ | １１ |
| D | C | J | A | E | F | I | B | K | G | H |
| 165 | 169 | 169 | 171 | 172 | 174 | 175 | 177 | 183 | 188 | 190 |
つまり、174になりますね
こんな感じです。
Rで分位点を算出するには、 quantile関数を使います。
quantile(x = x, probs = 0.5)
xは先程の表をベクトルで作成しています。
probsに、分位点を出したい値を%で指定します。
ここでは、中央なので50％を指定しています。
では実行してみましょう。
真ん中の数値174が返されましたね(^o^)
分かりやすく図にするとこんな感じ。
データの真ん中なので問題ないですね。
では、データ数が偶数のときはどうでしょうか。
奇数の場合は、ちょど良く真ん中がありません。。。
一旦、どうなるか確認してみましょう。
先程のデータに１５５を追加したデータを変数yに入れておきます。
y <- c(171, 177, 169, 165, 172, 174, 188, 190, 175, 169, 183, 155)
順番は次のようになりますね。
| １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ | ９ | １０ | １２ | １３ |
| L | D | C | J | A | E | F | I | B | K | G | H |
| 155 | 165 | 169 | 169 | 171 | 172 | 174 | 175 | 177 | 183 | 188 | 190 |
それでは実行してみます。
yは後半のところです。
結果は、１７３となりました。
この場合は以下のように考えます。
データの真ん中は無いので、真ん中の2つの数字を使います。
この例では、１７２と１７４が該当します。
この2つの数字の平均したものが答えになります。
(172＋174)÷2=173
中央値と同じなので大丈夫ですね(^o^)
四分位点（四分位数）
分位点で一番有名なのは、四分位点ですね。
データを４つに分けた時のそれぞれの区切り目の数です。
箱ひげ図作るときなんかにも利用します。
最小値 ・・・0％
第１四分位点・・・25％
第２四分位点・・・50％
第３四分位点・・・75％
最大値 ・・・100％
ような感じでデータを4つに分けた時の各分位点です。
quantile関数は引数probsを指定しないと上記の分位点を表示します。
先程のデータx（１１個のデータ）で実行してみます。
quantile(x = x)
出ましたね。
先ほどと同じ図で表すと次のようになります。
最小値・第2四分位点・最大値は大丈夫ですね。
では、第1四分位点と第3四分位点についてはどのように計算されているでしょうか。
実は、四分位数には複数定義がありますので、どの定義の四分位数を使っているのかで数値が変わってきます。
ここでは quantile関数のデフォルト状態でどのように計算されているかを説明します。
※その他の定義：文部科学省推奨とか箱ひげ図考案者Tukeyさんの定義とかあります。
まずは算出方法から
データを x1, x2, x3, … , xk とした時
①「k(データ数) – 1 」に 0.25(第1四分位点), 0.5(第2四分位点), 0.75(第3四分位点)を掛ける。
②①の値が
【整数】その番号のデータがそれぞれ第1四分位数,中央値,第3四分位数になる。
【整数＋0.25】その数より１つ大きい数kと k+1番目の値で調整する。
0.75 ✕ xk ＋ 0.25 ✕ xk+1
【整数＋0.5】その数より１つ大きい数kと k+1番目の値で調整する
0.5 ✕ xk ＋ 0.5 ✕ xk+1
【整数＋0.75】その数より１つ大きい数kと k+1番目の値で調整する
0.25 ✕ xk ＋ 0.75 ✕ xk+1
となっています。
分かりにくいの具体的にやってみましょう！
データx(１１個のデータ)で第1四分位点を定義通りに計算します。
まずは、「①k(データ数) – 1 」に 0.25, 0.5, 0.75を掛ける」です。
データ数は１１なので
第1四分位数 １０✕０.２５ = ２.５
となります。
結果が２.５となったので
【整数＋0.5】その数より１つ大きい数kと k+1番目の値で調整する
に該当します。
２.５より一つ大きい数は３なので、kは３、k+1は４となります。
それを以下の数式に当てはめると
0.5 ✕ xk ＋ 0.5 ✕ xk＋1
この数式に当てはめると
０.５ ✕ １６９ ＋０.５ ✕ １７１ ＝ １７０
となり、第1四分位点は１７０となります。
同じように、第3四分位数 １０✕０.７５ = ７.５
となるので
これも７.５なので
【整数＋0.5】その数より１つ大きい数kと k+1番目の値で調整する
に当てはまって、
７.５より一つ大きい数は８、kは８、k+1は９となります。
つまり
０.５ ✕ １７７ ＋０.５ ✕ １８３ ＝ １８０
となり、第3四分位点は１８０となります。
念のため、データy(１２個のデータ)でも同じ計算を行います。
まずはRで計算してみましょう！
最小値（0%）・第2四分位点/中央値（50%）・最大値（100%）は良いですね。
第1四分位点（25%）と第3四分位点（75%）を確認します。
定義通り、データの数12個から１引いた数１１に０.２５と０.７５を掛けます。
第1四分位点 =>１１✕０.２５ = ２.７５
第3四分位点 =>１１✕０.７５ = ８.２５
第1四分位点の方は、２.７５という数字が出ました。
これは、
【整数＋0.75】その数より１つ大きい数kと k+1番目の値で調整する
0.25 ✕ xk ＋ 0.75 ✕ xk＋1
に当てはまりますね。
ｋは１６９、ｋ＋１も１６９となります。
計算式に当てはめて、
０.２５ ✕ １６９ ＋０.７５ ✕ １６９ ＝ １６９
第1四分位点は１６９となります。
同じように、第3四分位点は、８.２５だったので、図のようにｋは９、ｋ＋１は１０となります。
計算は
【整数＋0.25】その数より１つ大きい数kと k+1番目の値で調整する。
0.75 ✕ xk ＋ 0.25 ✕ xk＋1
に当てはまるので、
０.７５ ✕ １７７ ＋０.２５ ✕ １８３ ＝ １７８.５
となり、第3四分位点は１７８.５と計算されます。
Rで計算された結果と同じになりましたね(^o^)
その他の分位点
四分位数以外の中途半端なところでの分位数も計算してみましょう！
意味は無いですが６３％でやってみます。
まずはRで計算
１７５.６になりました。
この計算方法は、四分位数の定義の応用でいけます。
まずは、６３％点なので、データ数-1に対して０.６３を掛けます。
６３％点 => １０✕０.６３＝６.３
になるので、ｋは７、ｋ＋１は８となります。
あとは計算式をちょっと変えます。
こんな感じです。
0.7 ✕ xk ＋ 0.3 ✕ xk＋1
規則性分かりましたか？
(データ数－１)✕●％で計算した結果の少数部分に注目です。
ここでは０.３になったので、その例を使うと
ｋに掛けるのは、１から０.３引いた結果 ０.７となります。
ｋ＋１にはそのまま０.３を掛けます。
数値を当てはめて計算します。
０.７ ✕ １７５ ＋０.３ ✕ １７７ ＝ １７５.６
Rで計算したのと同じ結果が出ましたね(^o^)
おまけ
summary関数を使うことで、最小値・第1四分位数・中央値(第2四分位数)・平均・第3四分位数・最大値のデータを一気に出すことも出来ますので覚えておいて下さい(^o^)
summary(x)
まとめ
今回は、分位点について勉強しました！
実は四分位数の定義が色々あったので苦戦しましたｗ
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